Erforschung der exponentiell gewichteten beweglichen durchschnittlichen Volatilität ist die häufigste Maßnahme des Risikos, aber es kommt in mehreren Geschmacksrichtungen. In einem früheren Artikel haben wir gezeigt, wie man einfache historische Volatilität berechnet. (Um diesen Artikel zu lesen, siehe Volatilität verwenden, um zukünftiges Risiko zu beurteilen.) Wir haben Googles aktuelle Aktienkursdaten verwendet, um die tägliche Volatilität auf der Grundlage von 30 Tagen Lagerbestand zu berechnen. In diesem Artikel werden wir die einfache Volatilität verbessern und den exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitt (EWMA) diskutieren. Historische Vs. Implizite Volatilität Zuerst können wir diese Metrik in ein bisschen Perspektive bringen. Es gibt zwei breite Ansätze: historische und implizite (oder implizite) Volatilität. Der historische Ansatz geht davon aus, dass Vergangenheit Prolog ist, messen wir die Geschichte in der Hoffnung, dass es prädiktiv ist. Implizite Volatilität hingegen ignoriert die Geschichte, die sie für die Volatilität der Marktpreise löst. Es hofft, dass der Markt am besten weiß und dass der Marktpreis, auch wenn implizit, eine Konsensschätzung der Volatilität enthält. (Für verwandte Lesung siehe die Verwendungen und Grenzen der Volatilität.) Wenn wir uns nur auf die drei historischen Ansätze konzentrieren (links oben), haben sie zwei Schritte gemeinsam: Berechnen Sie die Reihe der periodischen Renditen Bewerben Sie ein Gewichtungsschema Zuerst haben wir Berechnen Sie die periodische Rückkehr. Das ist typischerweise eine Reihe von täglichen Renditen, bei denen jede Rückkehr in kontinuierlich zusammengesetzten Begriffen ausgedrückt wird. Für jeden Tag nehmen wir das natürliche Protokoll des Verhältnisses der Aktienkurse (d. h. der Preis heute geteilt durch den Preis gestern und so weiter). Dies führt zu einer Reihe von täglichen Renditen, von u i zu u i-m. Je nachdem wie viele Tage (m Tage) wir messen. Das bringt uns zum zweiten Schritt: Hier unterscheiden sich die drei Ansätze. In dem vorherigen Artikel (mit Volatility To Gauge Future Risk), haben wir gezeigt, dass unter ein paar akzeptablen Vereinfachungen, die einfache Varianz ist der Durchschnitt der quadrierten Renditen: Beachten Sie, dass dies summiert jede der periodischen Renditen, dann teilt diese Summe durch die Anzahl der Tage oder Beobachtungen (m). Also, es ist wirklich nur ein Durchschnitt der quadratischen periodischen Rückkehr. Setzen Sie einen anderen Weg, jede quadratische Rückkehr wird ein gleiches Gewicht gegeben. Wenn also Alpha (a) ein Gewichtungsfaktor ist (speziell 1 m), dann sieht eine einfache Varianz so aus: Die EWMA verbessert sich auf einfache Abweichung Die Schwäche dieses Ansatzes ist, dass alle Renditen das gleiche Gewicht verdienen. Gestern (sehr neuere) Rückkehr hat keinen Einfluss mehr auf die Varianz als die letzten Monate zurück. Dieses Problem wird durch die Verwendung des exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitts (EWMA) behoben, bei dem neuere Renditen ein größeres Gewicht auf die Varianz haben. Der exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitt (EWMA) führt Lambda ein. Der als Glättungsparameter bezeichnet wird. Lambda muss kleiner als eins sein. Unter dieser Bedingung wird anstelle von gleichen Gewichten jede quadrierte Rendite mit einem Multiplikator wie folgt gewichtet: Zum Beispiel neigt RiskMetrics TM, ein Finanzrisikomanagement-Unternehmen, dazu, ein Lambda von 0,94 oder 94 zu verwenden. In diesem Fall ist das erste ( (1 - 0,94) (94) 0 6. Die nächste quadratische Rückkehr ist einfach ein Lambda-Vielfaches des vorherigen Gewichts in diesem Fall 6 multipliziert mit 94 5,64. Und das dritte vorherige Tagegewicht ist gleich (1-0,94) (0,94) 2 5,30. Das ist die Bedeutung von Exponential in EWMA: jedes Gewicht ist ein konstanter Multiplikator (d. h. Lambda, der kleiner als eins sein muss) des vorherigen Tagegewichts. Dies stellt eine Varianz sicher, die gewichtet oder voreingenommen auf neuere Daten ist. (Um mehr zu erfahren, schau dir das Excel-Arbeitsblatt für Googles-Volatilität an.) Der Unterschied zwischen einfacher Volatilität und EWMA für Google ist unten dargestellt. Die einfache Volatilität wirkt effektiv jede periodische Rendite um 0,196, wie in Spalte O gezeigt (wir hatten zwei Jahre täglich Kursdaten, das sind 509 tägliche Renditen und 1509 0,196). Aber beachten Sie, dass Spalte P ein Gewicht von 6, dann 5.64, dann 5.3 und so weiter zuteilt. Das ist der einzige Unterschied zwischen einfacher Varianz und EWMA. Denken Sie daran: Nachdem wir die ganze Serie (in Spalte Q) zusammengefasst haben, haben wir die Varianz, die das Quadrat der Standardabweichung ist. Wenn wir Volatilität wollen, müssen wir uns daran erinnern, die Quadratwurzel dieser Varianz zu nehmen. Was ist der Unterschied in der täglichen Volatilität zwischen der Varianz und EWMA im Googles-Fall Sein signifikant: Die einfache Varianz gab uns eine tägliche Volatilität von 2,4, aber die EWMA gab eine tägliche Volatilität von nur 1,4 (siehe die Kalkulationstabelle für Details). Anscheinend hat sich die Googles-Volatilität in jüngster Zeit niedergelassen, eine einfache Varianz könnte künstlich hoch sein. Heutige Varianz ist eine Funktion von Pior Days Variance Youll bemerken wir brauchten, um eine lange Reihe von exponentiell abnehmenden Gewichten zu berechnen. Wir werden die Mathematik hier nicht machen, aber eines der besten Features der EWMA ist, dass die ganze Serie bequem auf eine rekursive Formel reduziert: Rekursive bedeutet, dass heutige Varianzreferenzen (d. h. eine Funktion der vorherigen Tagesabweichung) ist. Sie finden diese Formel auch in der Kalkulationstabelle, und sie erzeugt genau das gleiche Ergebnis wie die Langzeitberechnung Es heißt: Die heutige Varianz (unter EWMA) ist gleichbedeutend mit der vulkanischen Varianz (gewichtet durch Lambda) plus gestern quadrierte Rückkehr (gewogen von einem Minus Lambda). Beachten Sie, wie wir nur zwei Begriffe zusammenfügen: gestern gewichtete Varianz und gestern gewichtet, quadratische Rückkehr. Dennoch ist Lambda unser Glättungsparameter. Ein höheres Lambda (z. B. RiskMetrics 94) zeigt einen langsamen Abfall in der Serie an - in relativer Hinsicht werden wir mehr Datenpunkte in der Serie haben und sie werden langsamer abfallen. Auf der anderen Seite, wenn wir das Lambda reduzieren, zeigen wir einen höheren Zerfall an: die Gewichte fallen schneller ab, und als direkte Folge des schnellen Zerfalls werden weniger Datenpunkte verwendet. (In der Kalkulationstabelle ist Lambda ein Eingang, also kannst du mit seiner Empfindlichkeit experimentieren). Zusammenfassung Volatilität ist die momentane Standardabweichung eines Bestandes und die häufigste Risikometrität. Es ist auch die Quadratwurzel der Varianz. Wir können die Abweichung historisch oder implizit (implizite Volatilität) messen. Wenn man historisch misst, ist die einfachste Methode eine einfache Varianz. Aber die Schwäche mit einfacher Abweichung ist, dass alle Renditen das gleiche Gewicht bekommen. So stehen wir vor einem klassischen Kompromiss: Wir wollen immer mehr Daten, aber je mehr Daten wir haben, desto mehr wird unsere Berechnung durch entfernte (weniger relevante) Daten verdünnt. Der exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitt (EWMA) verbessert die einfache Varianz durch die Zuordnung von Gewichten zu den periodischen Renditen. Auf diese Weise können wir beide eine große Stichprobengröße verwenden, aber auch ein größeres Gewicht auf neuere Renditen geben. (Um ein Filmtutorium zu diesem Thema zu sehen, besuchen Sie die Bionische Schildkröte.) Artikel 50 ist eine Verhandlungs - und Vergleichsklausel im EU-Vertrag, in der die Schritte für jedes Land skizziert werden. Beta ist ein Maß für die Volatilität oder das systematische Risiko eines Wertpapiers oder eines Portfolios im Vergleich zum Gesamtmarkt. Eine Art von Steuern, die auf Kapitalgewinne von Einzelpersonen und Kapitalgesellschaften angefallen sind. Kapitalgewinne sind die Gewinne, die ein Investor ist. Ein Auftrag, eine Sicherheit bei oder unter einem bestimmten Preis zu erwerben. Ein Kauflimitauftrag erlaubt es Händlern und Anlegern zu spezifizieren. Eine IRS-Regel (Internal Revenue Service), die strafrechtliche Abhebungen von einem IRA-Konto ermöglicht. Die Regel verlangt das. Der erste Verkauf von Aktien von einem privaten Unternehmen an die Öffentlichkeit. IPOs werden oft von kleineren, jüngeren Unternehmen ausgestellt, die die.8.4 bewegte durchschnittliche Modelle anstatt die bisherigen Werte der Prognosemenge in einer Regression zu verwenden, verwendet ein gleitendes Durchschnittsmodell vergangene Prognosefehler in einem regressionsähnlichen Modell. Y c et theta e theta e dots theta e, wo et ist weißes Rauschen. Wir bezeichnen dies als MA (q) Modell. Natürlich beobachten wir nicht die Werte von et, also ist es nicht wirklich Regression im üblichen Sinne. Beachten Sie, dass jeder Wert von yt als ein gewichteter gleitender Durchschnitt der letzten Prognosefehler gedacht werden kann. Allerdings sollten die gleitenden durchschnittlichen Modelle nicht mit der gleitenden durchschnittlichen Glättung verwechselt werden, die wir in Kapitel 6 besprochen haben. Ein gleitendes Durchschnittsmodell wird für die Prognose zukünftiger Werte verwendet, während die durchschnittliche Glättung für die Schätzung des Trendzyklus vergangener Werte verwendet wird. Abbildung 8.6: Zwei Beispiele von Daten aus bewegten Durchschnittsmodellen mit unterschiedlichen Parametern. Links: MA (1) mit y t 20e t 0.8e t-1. Rechts: MA (2) mit y t e t - e t-1 0.8e t-2. In beiden Fällen ist e t normal verteilt weißes Rauschen mit mittlerem Null und Varianz eins. Abbildung 8.6 zeigt einige Daten aus einem MA (1) Modell und einem MA (2) Modell. Das Ändern der Parameter theta1, punkte, thetaq führt zu unterschiedlichen zeitreihenmustern. Wie bei autoregressiven Modellen wird die Varianz des Fehlerbegriffs nur den Maßstab der Serie ändern, nicht die Muster. Es ist möglich, jedes stationäre AR (p) Modell als MA (Infty) Modell zu schreiben. Zum Beispiel können wir mit wiederholter Substitution dies für ein AR (1) - Modell nachweisen: begin yt amp phi1y et amp phi1 (phi1y e) et amp phi12y phi1 e et amph phi13y phi12e phi1 e et amptext endgesetzt -1 lt phi1 lt 1, der Wert von phi1k wird kleiner, wenn k größer wird. So erhalten wir schließlich yt et phi1 e phi12 e phi13 e cdots, ein MA (infty) Prozess. Das umgekehrte Ergebnis gilt, wenn wir den MA-Parametern einige Einschränkungen auferlegen. Dann heißt das MA-Modell invertierbar. Das heißt, dass wir einen invertierbaren MA (q) Prozess als AR (Infty) Prozess schreiben können. Invertible Modelle sind nicht einfach, damit wir von MA Modellen in AR Modelle umwandeln können. Sie haben auch einige mathematische Eigenschaften, die sie in der Praxis leichter machen können. Die Invertierbarkeitsbeschränkungen ähneln den stationären Einschränkungen. Für ein MA (1) Modell: -1lttheta1lt1. Für ein MA (2) Modell: -1ltθ2lt1, theta2theta1 gt-1, theta1 - θ2 lt 1. Kompliziertere Bedingungen gelten für qge3. Auch hier wird R diese Einschränkungen bei der Schätzung der Modelle berücksichtigen.2.1 Moving Average Models (MA-Modelle) Zeitreihenmodelle, die als ARIMA-Modelle bekannt sind, können autoregressive Begriffe und gleitende durchschnittliche Begriffe enthalten. In Woche 1 lernten wir einen autoregressiven Begriff in einem Zeitreihenmodell für die Variable x t ist ein verzögerter Wert von x t. Zum Beispiel ist ein lag 1 autoregressiver Term x t-1 (multipliziert mit einem Koeffizienten). Diese Lektion definiert gleitende durchschnittliche Begriffe. Ein gleitender Durchschnittsterm in einem Zeitreihenmodell ist ein vergangener Fehler (multipliziert mit einem Koeffizienten). Lassen Sie (nt N (0, sigma2w)), was bedeutet, dass die wt identisch, unabhängig verteilt sind, jeweils mit einer Normalverteilung mit dem Mittelwert 0 und der gleichen Varianz. Das mit MA (1) bezeichnete 1-stufige gleitende Durchschnittsmodell ist (xt mu wt theta1w) Das durchschnittliche Modell der 2. Ordnung, das mit MA (2) bezeichnet wird, ist (xt mu wt theta1w theta2w) , Bezeichnet mit MA (q) ist (xt mu wt theta1w theta2w dots thetaqw) Hinweis. Viele Lehrbücher und Softwareprogramme definieren das Modell mit negativen Vorzeichen vor den Bedingungen. Dies ändert nicht die allgemeinen theoretischen Eigenschaften des Modells, obwohl es die algebraischen Zeichen der geschätzten Koeffizientenwerte und (unsquared) Terme in Formeln für ACFs und Abweichungen klappt. Sie müssen Ihre Software überprüfen, um zu überprüfen, ob negative oder positive Zeichen verwendet wurden, um das geschätzte Modell korrekt zu schreiben. R verwendet positive Zeichen in seinem zugrunde liegenden Modell, wie wir hier tun. Theoretische Eigenschaften einer Zeitreihe mit einem MA (1) Modell Beachten Sie, dass der einzige Wert ungleich Null im theoretischen ACF für Verzögerung 1 ist. Alle anderen Autokorrelationen sind 0. Somit ist ein Beispiel ACF mit einer signifikanten Autokorrelation nur bei Verzögerung 1 ein Indikator für ein mögliches MA (1) Modell. Für interessierte Schüler sind die Beweise dieser Eigenschaften ein Anhang zu diesem Handzettel. Beispiel 1 Angenommen, ein MA (1) - Modell ist x t 10 wt .7 w t-1. Wo (wt Overset N (0,1)). So ist der Koeffizient 1 0,7. Die theoretische ACF ist gegeben durch eine Handlung dieses ACF folgt. Die gerade dargestellte Handlung ist die theoretische ACF für eine MA (1) mit 1 0,7. In der Praxis wird eine Probe gewöhnlich ein solches klares Muster liefern. Unter Verwendung von R simulierten wir n 100 Abtastwerte unter Verwendung des Modells x t 10 w t .7 w t-1, wobei w t iid N (0,1). Für diese Simulation folgt eine Zeitreihenfolge der Stichprobendaten. Wir können nicht viel von dieser Handlung erzählen. Die Stichprobe ACF für die simulierten Daten folgt. Wir sehen eine Spike bei Verzögerung 1, gefolgt von allgemein nicht signifikanten Werten für die Vergangenheit 1. Beachten Sie, dass die Stichprobe ACF nicht mit dem theoretischen Muster des zugrundeliegenden MA (1) übereinstimmt, was bedeutet, dass alle Autokorrelationen für Verzögerungen nach 1 0 sind Eine andere Probe hätte eine etwas andere Probe ACF, die unten gezeigt wird, würde aber wahrscheinlich die gleichen breiten Merkmale haben. Theroretische Eigenschaften einer Zeitreihe mit einem MA (2) Modell Für das MA (2) Modell sind die theoretischen Eigenschaften die folgenden: Beachten Sie, dass die einzigen Werte ungleich Null im theoretischen ACF für die Verzögerungen 1 und 2 sind. Autokorrelationen für höhere Verzögerungen sind 0 So gibt ein Beispiel ACF mit signifikanten Autokorrelationen bei den Verzögerungen 1 und 2, aber nicht signifikante Autokorrelationen für höhere Verzögerungen ein mögliches MA (2) - Modell an. Iid N (0,1). Die Koeffizienten sind 1 0,5 und 2 0,3. Da es sich hierbei um ein MA (2) handelt, hat die theoretische ACF nur Nullwerte nur bei den Verzögerungen 1 und 2. Werte der beiden Nicht-Null-Autokorrelationen sind eine Auftragung der theoretischen ACF folgt. Wie fast immer der Fall ist, verhalten sich die Probendaten nicht ganz so perfekt wie die Theorie. Wir simulierten n 150 Probenwerte für das Modell x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Wo w t iid N (0,1). Die Zeitreihenfolge der Daten folgt. Wie bei der Zeitreihen-Plot für die MA (1) Beispieldaten können Sie nicht viel davon erzählen. Die Stichprobe ACF für die simulierten Daten folgt. Das Muster ist typisch für Situationen, in denen ein MA (2) Modell nützlich sein kann. Es gibt zwei statistisch signifikante Spikes bei den Verzögerungen 1 und 2, gefolgt von nicht signifikanten Werten für andere Verzögerungen. Beachten Sie, dass die Stichprobe ACF aufgrund des Stichprobenfehlers nicht genau mit dem theoretischen Muster übereinstimmt. ACF für allgemeine MA (q) Modelle Eine Eigenschaft von MA (q) - Modellen im Allgemeinen ist, dass es für die ersten q-Verzögerungen und Autokorrelationen 0 für alle Verzögerungen gt q ungleichen Autokorrelationen gibt. Nicht-Eindeutigkeit der Verbindung zwischen den Werten von 1 und (rho1) in MA (1) Modell. Im MA (1) Modell, für jeden Wert von 1. Die reziproke 1 1 gibt den gleichen Wert für Als Beispiel, verwenden Sie 0,5 für 1. Und dann 1 (0,5) 2 für 1 verwenden. Youll bekommen (rho1) 0,4 in beiden Fällen. Um eine theoretische Einschränkung zu erfüllen, die Invertierbarkeit genannt wird. Wir beschränken die MA (1) - Modelle auf Werte mit einem absoluten Wert kleiner als 1. In dem gerade angegebenen Beispiel ist 1 0,5 ein zulässiger Parameterwert, wohingegen 1 10,5 2 nicht. Invertierbarkeit von MA-Modellen Ein MA-Modell soll invertierbar sein, wenn es algebraisch äquivalent zu einem konvergierenden unendlichen Ordnungs-AR-Modell ist. Durch konvergieren, verstehen wir, dass die AR-Koeffizienten auf 0 abnehmen, wenn wir uns in der Zeit zurückziehen. Invertierbarkeit ist eine Beschränkung, die in die Zeitreihen-Software programmiert ist, die verwendet wird, um die Koeffizienten von Modellen mit MA-Terme abzuschätzen. Es ist nicht etwas, das wir in der Datenanalyse überprüfen. Zusätzliche Informationen über die Invertierbarkeitsbeschränkung für MA (1) Modelle finden Sie im Anhang. Fortgeschrittene Theorie Hinweis. Für ein MA (q) Modell mit einem bestimmten ACF gibt es nur ein invertierbares Modell. Die notwendige Bedingung für die Invertierbarkeit ist, daß die Koeffizienten Werte haben, so daß die Gleichung 1- 1 y - ist. - q y q 0 hat Lösungen für y, die außerhalb des Einheitskreises liegen. R-Code für die Beispiele In Beispiel 1 haben wir die theoretische ACF des Modells x t 10 w t aufgetragen. 7w t-1 Und dann simuliert n 150 Werte aus diesem Modell und plotted die Probe Zeitreihen und die Probe ACF für die simulierten Daten. Die R-Befehle, die verwendet wurden, um das theoretische ACF zu zeichnen, waren: acfma1ARMAacf (mac (0,7), lag. max10) 10 Verzögerungen von ACF für MA (1) mit theta1 0,7 lags0: 10 erzeugt eine Variable namens Lags, die von 0 bis 10 reicht (1) mit theta1 0,7) abline (h0) fügt eine horizontale Achse zum Plot hinzu Der erste Befehl bestimmt den ACF und speichert ihn in einem Objekt Benannte acfma1 (unsere auswahl des namens). Der Plotbefehl (der 3. Befehl) zeichnet sich gegen die ACF-Werte für die Verzögerungen 1 bis 10 aus. Der ylab-Parameter markiert die y-Achse und der Hauptparameter setzt einen Titel auf den Plot. Um die numerischen Werte des ACF zu sehen, benutzen Sie einfach den Befehl acfma1. Die Simulation und die Plots wurden mit den folgenden Befehlen durchgeführt. Xcarima. sim (n150, list (mac (0.7))) simuliert n 150 Werte aus MA (1) xxc10 fügt 10 hinzu, um Mittel zu machen 10. Simulation standardmäßig 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) Acf (x, xlimc (1,10), mainACF für simulierte Probendaten) In Beispiel 2 wurden die theoretischen ACF des Modells xt 10 Gew .-% w t-1 .3 w t-2 aufgetragen. Und dann simuliert n 150 Werte aus diesem Modell und plotted die Probe Zeitreihen und die Probe ACF für die simulierten Daten. Die verwendeten R-Befehle waren acfma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 plot (Verzögerungen, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, Haupt-ACF für MA (2) mit theta1 0,5, Thex20.3) abline (h0) xcarima. sim (n150, list (mac (0.5, 0.3))) xxc10 plot (x, typeb, main simulierte MA (2) Serie) acf (x, xlimc (1,10), MainACF für simulierte MA (2) Daten) Anhang: Nachweis der Eigenschaften von MA (1) Für interessierte Studierende sind hier Beispiele für theoretische Eigenschaften des MA (1) Modells. Abweichung: (Text (xt) Text (mu wt theta1 w) 0 Text (wt) Text (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) Wenn h 1, der vorherige Ausdruck 1 w 2. Für irgendwelche h 2 ist der vorherige Ausdruck 0 Der Grund dafür ist, dass durch die Definition der Unabhängigkeit der Gew. E (w k w j) 0 für jedes k j Da ferner wt den Mittelwert 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2 hat. Für eine Zeitreihe, Wenden Sie dieses Ergebnis an, um das oben angegebene ACF zu erhalten. Ein invertierbares MA-Modell ist eines, das als ein unendliches Ordnungs-AR-Modell geschrieben werden kann, das konvergiert, so dass die AR-Koeffizienten zu 0 konvergieren, wenn wir uns unendlich zurück in der Zeit bewegen. Nun zeigen Sie die Invertierbarkeit für das Modell MA (1). Dann ersetzen wir die Beziehung (2) für w t-1 in Gleichung (1) (3) (zt wt theta1 (z - θaw) wt theta1z - θ2w) Zur Zeit t-2. Gleichung (2) wird wir dann die Beziehung (4) für wt-2 in Gleichung (3) (zt wt theta1z-tha21w wt theta1z - tha21 (z-tha1w) wt theta1z - θ12z theta31w) Wenn wir fortfahren würden ( Unendlich), würden wir die unendliche Ordnung AR-Modell erhalten (zt wt theta1 z - theta21z theta31z - theta41z Punkte) Beachten Sie jedoch, dass bei 1 1 die Koeffizienten, die die Verzögerungen von z multiplizieren, in der Größe zunehmen wird (unendlich), wenn wir uns zurück bewegen Zeit. Um dies zu verhindern, brauchen wir 1 lt1. Dies ist die Voraussetzung für ein invertierbares MA (1) Modell. Infinite Order MA Modell In Woche 3 sehen wir, dass ein AR (1) Modell in eine unendliche Reihenfolge umgewandelt werden kann MA Modell: (xt-mu wt phi1w phi21w punkte phik1 w Punkte Summe phij1w) Diese Summierung von vergangenen weißen Rauschen ist bekannt Als die kausale Darstellung eines AR (1). Mit anderen Worten, x t ist eine spezielle Art von MA mit einer unendlichen Anzahl von Begriffen, die in der Zeit zurückgehen. Dies wird als unendliche Ordnung MA oder MA () bezeichnet. Eine endliche Ordnung MA ist eine unendliche Ordnung AR und jede endliche Ordnung AR ist eine unendliche Ordnung MA. Rückruf in Woche 1, stellten wir fest, dass eine Voraussetzung für eine stationäre AR (1) ist, dass 1 lt1. Lets berechnen die Var (x t) mit der Kausaldarstellung. Dieser letzte Schritt verwendet eine grundlegende Tatsache über geometrische Reihen, die (Phi1lt1) ansonsten die Reihe divergiert. NavigationGARCH und EWMA 21. Mai 2010 von David Harper, CFA, FRM, CIPM AIM: Vergleichen, kontrastieren und berechnen parametrische und nichtparametrische Ansätze zur Schätzung der bedingten Volatilität 8230 Inklusive: GARCH APPROACH Inklusive: EXPONENTIAL SMOOTHING (EWMA) Exponentielle Glättung (bedingte parametrische) Moderne Methoden legen mehr Gewicht auf aktuelle Informationen. Sowohl EWMA als auch GARCH legen mehr Gewicht auf aktuelle Informationen. Weiterhin, da EWMA ein Spezialfall von GARCH ist, setzen EWMA und GARCH eine exponentielle Glättung ein. GARCH (p, q) und insbesondere GARCH (1, 1) GARCH (p, q) ist ein allgemein autoregressives, bedingtes heteroskedastisches Modell. Zu den wichtigsten Aspekten gehören: Autoregressive (AR). Morgen8217s Varianz (oder Volatilität) ist eine regressierte Funktion von heute8217s varance8212it regresses auf sich selbst Bedingung (C). Morgen8217svarianz hängt von der letzten Abweichung ab. Eine bedingungslose Abweichung würde nicht von heute abhängen8217s Varianz Heteroskedastic (H). Abweichungen sind nicht konstant, sie fließen im Laufe der Zeit GARCH regresses auf 8220lagged8221 oder historische Begriffe. Die verzögerten Begriffe sind entweder Varianz oder quadrierte Renditen. Das generische GARCH (p, q) Modell regressiert auf (p) quadratischen Rückkehr und (q) Abweichungen. Daher GARCH (1, 1) 8220lags8221 oder regresses auf letzter Periode8217s quadrierte Rückkehr (d. h. nur 1 Rückkehr) und letzte Periode8217s Varianz (d. h. nur 1 Varianz). GARCH (1, 1) gegeben durch die folgende Gleichung. Die gleiche GARCH (1, 1) Formel kann mit griechischen Parametern gegeben werden: Hull schreibt dieselbe GARCH-Gleichung wie folgt: Der erste Term (gVL) ist wichtig, weil VL die Langzeit-Durchschnittsvarianz ist. Daher ist (gVL) ein Produkt: Es ist die gewichtete Langzeit-Durchschnittsabweichung. Das Modell GARCH (1, 1) löst für die bedingte Varianz als Funktion von drei Variablen (vorherige Varianz, vorherige Rückkehr2 und Langzeitvarianz): Persistenz ist ein Merkmal, das im GARCH-Modell eingebettet ist. Tipp: In den obigen Formeln ist die Persistenz (b c) oder (alpha-1 beta). Persistenz bezieht sich darauf, wie schnell (oder langsam) die Varianz zurückkehrt oder auf den langjährigen Durchschnitt zurückkehrt. Hohe Beharrlichkeit entspricht dem langsamen Zerfall und der langsamen Abbau der mittleren Verhältnisse entspricht dem raschen Zerfall und der schnellen Verringerung des Mittels.8221 Eine Beharrlichkeit von 1,0 impliziert keine mittlere Reversion. Eine Beharrlichkeit von weniger als 1,0 impliziert 8220reversion zum Mittelwert, 8221 wo eine niedrigere Persistenz eine stärkere Reversion zum Mittel bedeutet. Tipp: Wie oben ist die Summe der Gewichte, die der verzögerten Varianz und der verzögerten quadratischen Rückkehr zugeordnet sind, die Beharrlichkeit (bc persistence). Eine hohe Beharrlichkeit (größer als null, aber weniger als eins) impliziert eine langsame Rückkehr zum Mittelwert. Aber wenn die Gewichte, die der verzögerten Varianz und der zurückgebliebenen quadratischen Rückkehr zugeordnet sind, größer als eins sind, ist das Modell nicht stationär. Ist (bc) größer als 1 (wenn bc gt 1) ist das Modell nicht stationär und nach Hull instabil. In diesem Fall wird EWMA bevorzugt. Linda Allen sagt über GARCH (1, 1): GARCH ist sowohl 8220compact8221 (d. h. relativ einfach) und bemerkenswert genau. GARCH-Modelle dominieren in der wissenschaftlichen Forschung. Viele Variationen des GARCH-Modells wurden versucht, aber nur wenige haben das Original verbessert. Der Nachteil des GARCH-Modells ist seine Nichtlinearität sic Zum Beispiel: Für die Langzeitvarianz in GARCH lösen (1,1) Betrachten wir die GARCH (1, 1) Gleichung unten: Angenommen, der Alpha-Parameter 0.2, der Beta-Parameter 0,7, Und beachten Sie, dass Omega ist 0,2 aber don8217t Fehler Omega (0,2) für die langfristige Varianz Omega ist das Produkt von Gamma und die langfristige Varianz. Also, wenn Alpha Beta 0,9, dann muss Gamma 0,1 sein. Angesichts der Tatsache, dass Omega 0,2 ist, wissen wir, dass die Langzeitabweichung 2,0 (0,2 184 0,1 2,0) betragen muss. GARCH (1,1): Der bloße Notationsunterschied zwischen Hull und Allen EWMA ist ein Spezialfall von GARCH (1,1) und GARCH (1,1) ist ein allgemeiner Fall von EWMA. Der herausragende Unterschied besteht darin, dass GARCH den zusätzlichen Term für die mittlere Reversion enthält und EWMA eine mittlere Reversion fehlt. Hier gelangen wir von GARCH (1,1) zu EWMA: Dann lassen wir 0 und (bc) 1, so dass die obige Gleichung vereinfacht wird: Dies entspricht nun der Formel für exponentiell gewichtete gleitende Mittelwerte (EWMA): In EWMA bestimmt der Lambda-Parameter nun den 8220decay: 8221 ein Lambda, der nahe bei einem (hohen Lambda) liegt, zeigt einen langsamen Abfall. Der RiskMetricsTM-Ansatz RiskMetrics ist eine Markenform des exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitts (EWMA) - Ansatzes: Das optimale (theoretische) Lambda variiert je nach Assetklasse, aber der von RiskMetrics verwendete Gesamt-Optimal-Parameter betrug 0,94. In der Praxis verwendet RiskMetrics nur einen Zerfallsfaktor für alle Serien: 183 0,94 für Tagesdaten 183 0,97 für monatliche Daten (Monat definiert als 25 Handelstage) Technisch sind die täglichen und monatlichen Modelle inkonsistent. Allerdings sind sie beide einfach zu bedienen, sie approximieren das Verhalten der tatsächlichen Daten ganz gut, und sie sind robust zu misspecification. Hinweis: GARCH (1, 1), EWMA und RiskMetrics sind jeweils parametrisch und rekursiv. Rekursive EWMA Vorteile und Nachteile von MA (dh STDEV) vs. GARCH Grafische Zusammenfassung der parametrischen Methoden, die den jüngsten Erträgen mehr Gewicht verleihen (GARCH amp EWMA) Zusammenfassung Tipps: GARCH (1, 1) ist verallgemeinert RiskMetrics und umgekehrt ist RiskMetrics Beschränkter Fall von GARCH (1,1) wobei a 0 und (bc) 1. GARCH (1, 1) gegeben ist durch: Die drei Parameter sind Gewichte und müssen daher zu einem: Tip: Sei vorsichtig über den ersten Begriff in der GARCH (1, 1) Gleichung: omega () gamma () (durchschnittliche Langzeitvarianz). Wenn Sie nach der Varianz gefragt sind, müssen Sie das Gewicht aufteilen, um die durchschnittliche Varianz zu berechnen. Bestimmen Sie, wann und ob ein GARCH - oder EWMA-Modell in der Volatilitätsschätzung verwendet werden soll. In der Praxis sind die Abweichungsraten in der Regel ein Mittelwert, so dass das GARCH (1, 1) - Modell theoretisch überlegen ist (8220 eher ansprechend als8221) an das EWMA-Modell. Denken Sie daran, dass8217s der große Unterschied: GARCH fügt den Parameter hinzu, der den Langzeitdurchschnitt gewichtet hat und daher eine mittlere Reversion beinhaltet. Tipp: GARCH (1, 1) ist bevorzugt, wenn der erste Parameter nicht negativ ist (was impliziert wird, wenn alpha beta gt 1). In diesem Fall ist GARCH (1,1) instabil und EWMA ist bevorzugt. Erläutern Sie, wie die GARCH-Schätzungen Prognosen liefern können, die genauer sind. Der gleitende Durchschnitt berechnet die Varianz auf der Grundlage eines nachlaufenden Beobachtungsfensters, z. B. Die letzten zehn Tage, die letzten 100 Tage. Es gibt zwei Probleme mit gleitendem Durchschnitt (MA): Ghosting-Funktion: Volatilitätsstöße (plötzliche Erhöhungen) werden abrupt in die MA-Metrik integriert und dann, wenn das nachlaufende Fenster vergeht, werden sie plötzlich aus der Berechnung fallen gelassen. Dadurch wird die MA-Metrik in Bezug auf die gewählte Fensterlänge verschoben. Trendinformationen werden nicht berücksichtigt GARCH-Schätzungen verbessern diese Schwächen auf zwei Arten: Neuere Beobachtungen werden mit größeren Gewichten vergeben. Dies überwindet das Geisterbild, weil ein Volatilitätsschock sofort die Schätzung beeinflussen wird, aber sein Einfluss wird allmählich verblassen, wenn die Zeit vergeht. Ein Begriff wird hinzugefügt, um die Reversion in den Mittelwert zu integrieren. Erklären Sie, wie die Beharrlichkeit mit der Rückkehr zum Mittelwert zusammenhängt. Angesichts der GARCH (1, 1) Gleichung: Die Persistenz ist gegeben durch: GARCH (1, 1) ist instabil, wenn die Persistenz gt 1. Eine Persistenz von 1,0 bedeutet keine mittlere Reversion. Eine geringe Persistenz (z. B. 0,6) zeigt einen schnellen Abfall und eine hohe Reversion zum Mittel an. Tipp: GARCH (1, 1) hat drei Gewichte, die drei Faktoren zugeordnet sind. Persistenz ist die Summe der Gewichte, die sowohl der verzögerten Varianz als auch der verzögerten quadratischen Rückkehr zugeordnet sind. Das andere Gewicht ist der Langzeitvarianz zugeordnet. Wenn P-Persistenz und G-Gewicht der Langzeit-Varianz zugeordnet sind, dann gilt PG 1. Wenn also P (Persistenz) hoch ist, dann ist G (mittlere Reversion) niedrig: Die anhaltende Reihe ist nicht stark, das bedeutet, dass sie sich zurückzieht bedeuten. Wenn P niedrig ist, dann muss G hoch sein: die unauffällige Reihe bedeutet stark, dass es zurückkehrt, zeigt es 8220rapid decay8221 zum Mittelwert. Die durchschnittliche, bedingungslose Varianz des GARCH (1, 1) Modells ist gegeben durch: Erläutern Sie, wie EWMA systematisch ältere Daten abgibt und die täglichen und monatlichen Zerfallsfaktoren von RiskMetrics174 identifiziert. Der exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitt (EWMA) ist gegeben durch: Die obige Formel ist eine rekursive Vereinfachung der 8220true8221 EWMA-Serie, die gegeben ist durch: In der EWMA-Reihe ist jedes Gewicht, das den quadrierten Rückgängen zugeordnet ist, ein konstantes Verhältnis des vorhergehenden Gewichts. Speziell ist Lambda (l) das Verhältnis zwischen benachbarten Gewichten. Auf diese Weise werden ältere Daten systematisch abgezinst. Der systematische Rabatt kann schrittweise (langsam) oder abrupt, je nach Lambda. Wenn Lambda hoch ist (z. B. 0,99), dann ist die Diskontierung sehr allmählich. Wenn Lambda niedrig ist (z. B. 0,7), ist die Diskontierung abrupt. Die RiskMetrics TM-Zerfallsfaktoren: 0,94 für tägliche Daten 0,97 für monatliche Daten (Monat definiert als 25 Handelstage) Erläutern Sie, warum Prognose-Korrelationen wichtiger sein können als die Prognose von Volatilitäten. Bei der Messung des Portfolio-Risikos können Korrelationen wichtiger sein als die individuelle Volatilitätsvariabilität. Daher kann im Hinblick auf das Portfolio-Risiko eine Korrelationsvorhersage wichtiger sein als einzelne Volatilitätsprognosen. Verwenden Sie GARCH (1, 1) zur Prognose der Volatilität Die erwartete zukünftige Varianzrate in (t) Perioden vorwärts ist gegeben durch: Nehmen wir beispielsweise an, dass eine aktuelle Volatilitätsschätzung (Periode n) durch die folgenden GARCH (1, 1 ) Gleichung: In diesem Beispiel ist alpha das Gewicht (0,1), das der vorherigen quadratischen Rückkehr zugeordnet ist (die vorherige Rückkehr war 4), beta ist das Gewicht (0,7), das der vorherigen Varianz (0,0016) zugeordnet ist. Was ist die erwartete zukünftige Volatilität, in zehn Tagen (n 10) Erstens, für die langfristige Varianz zu lösen. Es ist nicht 0,00008 dieser Begriff ist das Produkt der Varianz und sein Gewicht. Da das Gewicht 0,2 (1 - 0,1 - 0,7) betragen muss, beträgt die Langzeitabweichung 0,0004. Zweitens brauchen wir die aktuelle Varianz (Periode n). Das ist uns fast oben gegeben: Jetzt können wir die Formel anwenden, um für die erwartete zukünftige Varianz zu lösen: Dies ist die erwartete Varianzrate, so dass die erwartete Volatilität etwa 2,24 beträgt. Beachten Sie, wie das funktioniert: Die aktuelle Volatilität beträgt etwa 3,69 und die Langzeitvolatilität ist 2. Die 10-Tage-Vorwärtsprojektion 8220fades8221 die aktuelle Rate näher an der Langzeitrate. Nichtparametrische Volatilitätsvorhersage
No comments:
Post a Comment